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# 21727. 【CTS Round #1 Day 1】博弈

统计

给定 $n$ 与一个长度为 $n+1$ 的整数序列 $a_0, a_1, \cdots, a_n$。

有这样一个分段函数 $f(x)$,其定义域为 $[0,n]$,且 $f(x)$ 的值为:

  • 若 $x$ 为一个整数,则 $f(x) = a_x$。
  • 否则,记 $k = \left\lfloor x \right\rfloor$,则 $f(x) = a_k + (x - k)(a_{k+1} - a_k)$。

现在,两名玩家 Min 与 Max 将进行以下游戏,在游戏前,双方商定了一正整数 $A$ 与一正实数 $\varepsilon$,并记参数 $T = A$。

随后,Max 将选择一实数 $x \in [0, n]$,游戏正式开始。双方将轮流对 $x$ 进行修改,且由 Min 首先进行,规则如下:

  • 若 $T \le 0$,游戏立刻结束。
  • 该方玩家选择另一实数 $x'$ 满足 $x' \in [0, n]$,且 $|x - x'| < T$。
  • 将 $x$ 修改为 $x'$,并将 $T$ 修改为 $T - \varepsilon$。

显然,对任意 $\varepsilon > 0$,游戏都将在有限多轮后结束。Min 希望最小化游戏结束后 $f(x)$ 的值,而 Max 希望最大化游戏结束后 $f(x)$ 的值。记 $R(A, \varepsilon)$ 表示如果事先选择的参数分别为 $A, \varepsilon$,则最终 $f(x)$ 的值将会是多少。则给定 $A$ 你需要计算:

$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} R(A, \varepsilon)$$

输入格式

本题的每个测试点中可能包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个整数 $T$,表示数据组数。

对于每组数据:

输入的第一行包含两个整数 $n, A$。

接下来一行,包含 $n+1$ 个整数 $a_0, a_1, \cdots, a_n$.

输出格式

输出一行一个实数,表示答案。你与答案的误差不能超过 $10^{-4}$。

形式化地,设你输出的答案为 $A_p$,正确的答案为 $A_j$,则当且仅当 $\displaystyle \frac{|A_p - A_j|}{\max(1, |A_j|)} \le 10^{-4}$ 时,会判定你的答案正确。

样例数据

样例输入

2
3 1
11 -4 -5 14
6 4
2 5 4 6 -1 5 -10

样例 1 输出

4.5
4.4705882352941176470588235294118

样例解释

对于第一组测试数据,下图为 $f(x)$ 的图像。

problem_21727_1.png

真实的答案为 $\displaystyle\frac{9}{2}$。

对于第二组测试数据,真实的答案为 $\displaystyle \frac{76}{17}$。

子任务

对于所有数据,$1 \le A \le n \le 10^5$,$1 \le \sum n \le 10^5$,$-10^6 \le a_i \le 10^6$。

子任务编号 $n \le$ $A$ 分值
$1$ $1$ 不保证 $3$
$2$ $2$ $5$
$3$ $3$ $7$
$4$ $5$ $14$
$5$ $14$ $12$
$6$ $80$ $12$
$7$ $1\,000$ $12$
$8$ $10^5$ $A = 1$ $10$
$9$ 不保证 $25$